Родился 1 августа 1909 года в городе Орша ныне Витебской области в семье служащего. Член ВКП(б) с 1929 года. Окончил рабфак. Работал фрезеровщиком на 1-м Московском деревообделочном заводе.
В Красной Армии с 1931 года. В 1933 году окончил Московскую артиллерийскую школу.
Участник освободительного похода советских войск в Западную Украину и Западную Белоруссию 1939 года. На фронте в Великую Отечественную войну с июня 1941 года.
Дивизион 462-го артиллерийского полка (13-я армия, Западный фронт) под командованием капитана Бориса Xигрина принял 5 июля 1941 года на восточном берегу реки Ослик у д.Ослевка Белыничского района Могилёвской области неравный бой с танковой группой противника. Капитану Хигрину Б.Л. была поставлена задача прикрыть важную коммуникацию, к которой прорвались немецкие танки.
Отважный офицер-артиллерист, уже отличившийся со своим дивизионом в предыдущих боях, умело расставил орудия и приготовился к бою. Когда показались танки противника, орудия открыли огонь. Особенно удачно вело стрельбу орудие, у которого находился сам капитан Хигрин. Один за другим выбывали из строя фашистские танки, но враг продолжал наступать, не считаясь с потерями. От вражеских снарядов погиб почти весь расчёт орудия. Капитан Хигрин занял место наводчика и лично уничтожил четыре вражеских танка. Он вёл стрельбу до тех пор, пока осколок вражеского снаряда не сразил его. Продвижение противника было приостановлено. За мужество и героизм Указом Президиума Верховного Совета СССР от 31 августа 1941 года капитану Хигрину Борису Львовичу посмертно присвоено звание Героя Советского Союза. Награждён орденом Ленина.
Герой Советского Союза капитан Борис Львович Хигрин захоронен в братской могиле в Белыничах.
На месте гибели установлен памятник – артиллерийское орудие с мемориальной доской.